Wprowadzenie

Zadanie dotyczy analizy dynamicznej fragmentu konstrukcji płytowo-słupowej wykonanego z żelbetu. Rozpatrywany układ stanowi idealizację fragmentu rzeczywistej konstrukcji stropowej opartej na czterech słupach, gdzie płyta żelbetowa pracuje jako element nośny przenoszący obciążenia na podpory punktowe.

Geometria układu została określona za pomocą parametrów przedstawionych w tabeli znajdującej się w sekcji Parametry zadania. Na podstawie tych wartości należy zbudować model obliczeniowy w środowisku Abaqus.

Model składa się z płyty o wymiarach planarnych a × b oraz grubości t, podpartej w czterech narożnikach przez słupy o przekroju prostokątnym c × d i wysokości h. Dłuższy wymiar przekroju poprzecznego słupa jest mierzony wzdłuż krótszej krawędzi płyty. Wszystkie elementy wykonane są z jednorodnego materiału o module sprężystości E podanym w tabeli oraz współczynniku Poissona równym 0.25 Gęstość materiału należy przyjąć równą 2500 kg/m$^3$. Celem zadania jest wyznaczenie częstości i postaci drgań własnych układu oraz porównanie otrzymanych rezultatów z oszacowaniem analitycznym.

Na poniższym rysunku przedstawiono widok z modułu Assembly który zawiera analizowany model oraz ten sam model z wizualizacją grubości płyty oraz profilu słupów.

Model należy wykonać jako układ powłokowo-belkowy. Płyta powinna być modelowana przy użyciu elementów powłokowych typu S4R, natomiast słupy jako elementy belkowe B31. Po zdefiniowaniu geometrii należy złożyć pełny układ w module Assembly, a następnie połączyć instancje za pomocą operacji Merge/Cut Instances, tak aby uzyskać spójny model obliczeniowy.
Wszystkie słupy są utwierdzone w podstawie, co oznacza:
• przemieszczenia w osiach X, Y, Z = 0
• obroty wokół osi X, Y, Z = 0

Szczegóły wykonania zadania

Poniższa procedura opisuje kolejność wykonania modelu w środowisku Abaqus. Należy ściśle trzymać się kolejnych kroków, aby zapewnić poprawność modelu.

• Na początku należy utworzyć geometrię płyty jako element typu shell. Cały model tworzymy w przestrzeni 3D. Geometria płyty Shell zostanie utworzona przez wyciągnięcie Extrusion. W module Sketch rysujemy krawędź płyty, której długość odpowiada parametrowi a. Następnie szkic ten wyciągamy jako powierzchnię, wpisując wartość wyciągnięcia równą b. Grubość płyty nie jest definiowana geometrycznie, lecz zostanie przypisana w sekcji.

• Tworzymy nowy part, który odpowiadał będzie słupowi. Definiujemy go w 3D jako Wire. W module Sketch rysujemy jego oś o długości h równolegle do osi y. Przekrój poprzeczny słupa zostanie przypisany później w sekcji Beam Section.

• Tworzymy jeden wspólny materiał dla płyty oraz słupów. Należy zdefiniować gęstość materiału oraz jego sztywność. Gęstość wpisujemy w zakładce General->Density, a moduł Younga i współczynnik Poissona w zakładce Mechanical->Elasticity->Elastic. Należy zdefiniować również dwie sekcje. Sekcja dla płyty to sekcja typu Shell — w okienku wpisujemy grubość płyty. Dla słupów tworzymy sekcję typu Beam, gdzie wprowadzamy geometrię przekroju poprzecznego.

• Tworzymy profil naszego słupa, gdzie z listy wybieramy typ Rectangle i wpisujemy odpowiednie wymiary. Na tym etapie nie ma znaczenia w jakiej kolejności je wpiszemy, tzn. który wymiar potraktujemy jako wysokość a który jako szerokość.

• W module Assembly tworzymy instancję płyty oraz cztery instancje słupów. Każdą instancje słupa należy odpowiednio przemieścić/obrócić przy użyciu operacji Translate oraz Rotate, tak aby słupy znalazły się dokładnie w narożnikach płyty.

• Wybieramy opcję Merge/Cut Instance, wybieramy operację Merge. Dodatkowo należy wpisać nazwę nowego parta, który powstanie z połączenia czterech słupów oraz płyty. Wynikiem działania tej operacji jest utworzenie nowego parta oraz zablokowanie oryginalnych partów.

• Na tym etapie do nowo utworzonego parta w module Property możemy przypisać stworzone wcześniej sekcje. Przypisujemy więc sekcję Shell do płyty oraz sekcję Beam do czterech słupów. Do słupów należy przypisać również orientację przekroju poprzecznego względem osi słupa. Jeżeli wszystko jest poprawnie wykonane, użycie opcji renderowania profili i grubości płyty powinno pozwolić na wizualizację rzeczywistego kształtu konstrukcji.

• Tworzymy krok zadania obliczeniowego w module Step. W oknie Create Step wybieramy z listy Procedure type: Linear perturbation, a następnie Frequency - takie ustawienie odpowiada za analizę drgań własnych konstrukcji.

Po utworzeniu kroku w okienku Edit Step w zakładce Basic wpisujemy w polu Number of eigenvalues requested wartość 10 — co oznacza, że chcemy jako rezultat obliczeń otrzymać 10 pierwszych postaci oraz częstości drgań własnych.

• Warunki brzegowe należy zadać na dole każdego słupa. Każdy z słupów jest utwierdzona a więc nie ma możliwości przesuwu ani obrotu w żadnym z kierunków.

• W kolejnym kroku należy stworzyć siatkę MES oraz zadanie obliczeniowe w module Job

Parametry zadania

Parametry modelu numerycznego należy przyjąć w oparciu o otrzymany numer zadania
• a to szerokość płyty mierzone wzdłuż osi (x)
• b to długość płyty mierzona wzdłuż osi (z)
• h to wysokość słupa mierzona wzdłuż osi y
• E to moduł Younga płyty
• t to grubość płyty
• c i d to wymiary przekroju poprzecznego słupa

Model analityczny - oszacowanie

Pierwsza postać drgań własnych odpowiada globalnemu mechanizmowi przemieszczeń, w którym płyta zachowuje się w przybliżeniu jak sztywna masa, natomiast odkształcenia koncentrują się głównie w słupach. W konsekwencji układ można aproksymować jako masę skupioną (płyta) podpartą przez cztery słupy pracujące na zginanie.

Częstość własną pierwszej postaci można oszacować ze wzoru:

$$f_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{\mathrm{eff}}}{m}}$$

gdzie $m$ to masa płyty wyrażona jako iloczyn jej gęstości oraz objętości:

$$m = \rho \cdot a \cdot b \cdot t$$

oraz

$$k_{\mathrm{eff}} = 4 \cdot \frac{3 E I}{(\beta h)^3}$$

to efektywna sztywność słupa. $\beta$ to współczynnik efektywnej długości uwzględniający usztywnienie głowicy słupa przez płytę $0 < \beta \leq 1$, wstępnie przyjmowany jako 0.7

Model zakłada, że w pierwszej postaci drgań płyta nie ulega istotnemu zginaniu i pełni funkcję elementu masowego, natomiast sztywność układu pochodzi głównie od słupów pracujących na zginanie. Współczynnik $\beta$ uwzględnia częściowe utwierdzenie głowicy słupa przez płytę, co powoduje zmniejszenie efektywnej długości wyboczeniowej słupa i tym samym zwiększenie jego sztywności dynamicznej.

W modelu należy stosować minimalny, a nie maksymalny moment bezwładności wynikający z rzeczywistej osi zginania słupa. Oznacza to, że przy wyborze orientacji przekroju należy przyjmować ten moment bezwładności, który odpowiada najbardziej podatnemu kierunkowi zginania, ponieważ to on dominuje w pierwszej postaci drgań własnych układu.

Przykładowe wyniki obliczeń

Analiza numeryczna

• wyznacz częstości i postacie drgań własnych
• wykorzystaj elementy z liniową funkcją kształtu
• przyjmij wymiar elementu powłokowego: 1m, 0.5m, 0.1m
• przyjmij wymiar elementu belkowego: 1m, 0.5m, 0.1m
• wykorzystaj elementy z kwadratową funkcją kształtu
• przyjmij wymiar elementu powłokowego: 1m, 0.5m, 0.1m
• przyjmij wymiar elementu belkowego: 1m, 0.5m, 0.1m
• czy gęstość siatki elementów skończonych wpływa na liczbę możliwych do wyliczenia
wartości własnych
• zestaw wyliczone wartości własne (pięć pierwszych) w tabeli w
zależności od typu elementu i gęstości siatki i podsumuj, jak odpowiedni wybór ww.
parametrów może wpływać na decyzje projektowe