Wprowadzenie

W analizie metodą elementów skończonych istotne znaczenie ma poprawny opis właściwości materiałowych. W zależności od struktury wewnętrznej materiał może wykazywać jednakowe lub kierunkowo zależne właściwości mechaniczne. Wyróżnia się materiały izotropowe oraz anizotropowe.

Materiał izotropowy charakteryzuje się identycznymi właściwościami mechanicznymi we wszystkich kierunkach przestrzeni. Do jego opisu wystarczają dwa parametry materiałowe: moduł Younga $E$ oraz współczynnik Poissona $\nu$.

Zależność konstytutywna Hooke’a ma postać:

$$\ss = \D \ee$$

w zapisie macierzowym mamy:

\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} \\
\sigma_{22} \\
\sigma_{33} \\
\sigma_{12} \\
\sigma_{13} \\
\sigma_{23}
\end{bmatrix}= \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
\begin{bmatrix}
1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\
\nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\
\nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} \\
\varepsilon_{22} \\
\varepsilon_{33} \\
\gamma_{12} \\
\gamma_{13} \\
\gamma_{23}
\end{bmatrix}
\end{equation}

Moduł Kirchhoffa:

\begin{equation}
G = \frac{E}{2(1+\nu)}
\end{equation}

Materiał ortotropowy posiada trzy wzajemnie prostopadłe osie symetrii materiałowej.
Wymagane parametry materiałowe:

Odwrotne prawo Hooke jet następujące

$$\ee = \S \ss$$

w zapisie macierzowym

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \gamma_{12} \\ \gamma_{13} \\ \gamma_{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cfrac{1}{E_1} & -\cfrac{\nu_{12}}{E_2} & -\cfrac{\nu_{13}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ -\cfrac{\nu_{12}}{E_1} & \cfrac{1}{E_2} & -\cfrac{\nu_{23}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ -\cfrac{\nu_{13}}{E_1} & -\cfrac{\nu_{23}}{E_2} & \cfrac{1}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{G_{12}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{G_{13}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{1}{G_{23}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{23} \end{bmatrix} \end{equation}$$

Macierz sztywności materiału ortotropowego otrzymuje się poprzez odwrócenie macierzy podatności:

$$\D = \S^{-1}$$

Jednym z przykładów materiału ortotropowego jest drewno. Na rysunku przedstawiono przekrój przez fragment drewna wraz z zaznaczeniem trzech głównych osi ortotropii: pierwszy kierunek – podłużny wzdłuż włókine (longitudinal), drugi – promieniowy (radial), a trzeci – styczny (tangential).

Szczegóły wykonania zadania

Przedmiotem zadania jest analiza wpływu anizotropii materiału na wyniki obliczeń numerycznych. W ramach ćwiczenia należy porównać wyniki uzyskane dla materiału izotropowego oraz ortotropowego. Analizowana będzie cienka płytka wykonana z materiału o różnych własnościach zależnych od kierunku. Płytka modelowana jest w płaskim stanie naprężenia. W centralnej części znajduje się kołowy otwór o promieniu R, natomiast w narożnikach wykonano zaokrąglenia o promieniu R. Do płytki przyłożone jest ciśnienie o wartości P. Dodatkowo, w celu zapewnienia odpowiednich warunków eliminujących ruch sztywny płytki, na każdej krawędzi należy zadać przemieszczeniowe warunki brzegowe blokujące przesuw w kierunku równoległym do danej krawędzi.

• Płytka modelowana jest jako dwuwymiarowa powłoka (shell).W module Sketch należy narysować geometrię przedstawioną poniżej. Wartości wymiarów zestawiono w tabeli w sekcji Parametry zadania. Należy przyjąć jedną wartość promienia R= R1=R2=R3=R4=R5 oraż że A=B.

• Należy utworzyć dwa materiały: pierwszy — materiał izotropowy o module Younga równym E oraz współczynniku Poissona równym ν, drugi — materiał ortotropowy, który należy zdefiniować wybierając w polu Type opcję Engineering Constants.

Pierwsze trzy pola określają wartości modułu Younga w trzech prostopadłych kierunkach, kolejne trzy odpowiadają współczynnikom Poissona, natomiast ostatnie trzy definiują moduły ścinania. Wartości współczynników, które należy wstawić do tabeli, należy obliczyć z następujących wzorów:

$$\begin{aligned} E_1 &= E, \\ E_2 &= 0.07E, \\ E_3 &= 0.05E, \\ \\ \nu_{12} &= 0.07\nu, \\ \nu_{13} &= 0.05\nu, \\ \nu_{23} &= \frac{0.05}{0.07}\nu, \\ \\ G_{12} &= 0.15 \cdot \frac{E}{2(1+\nu)}, \\ G_{13} &= 0.10 \cdot \frac{E}{2(1+\nu)}, \\ G_{23} &= 0.02 \cdot \frac{E}{2(1+\nu)}. \end{aligned}$$

Wzory te zakładają, że w kierunku pierwszym materiał ma taką samą sztywność jak materiał izotropowy, natomiast w pozostałych dwóch kierunkach występuje istotne zmniejszenie sztywności.

• Następnie należy przypisać orientację materiału do geometrii. W tym celu w module Property należy wybrać opcję Assign Material Orientation, zaznaczyć geometrię, a następnie wybrać Use Default Orientation or Other Method. W oknie dialogowym należy zatwierdzić ustawienia przyciskiem OK. Takie ustawienie sprawi, że osie materiałowe będą zgodne z globalnym układem współrzędnych.

• W kolejnych krokach należy utworzyć sekcję zawierającą materiał izotropowy oraz przypisać ją do geometrii.

• Krok analizy należy ustawić jako Static General.

• Warunki brzegowe powinny zawierać ciśnienie powodujące rozciąganie płytki w dwóch prostopadłych kierunkach. Należy zaznaczyć wszystkie zewnętrzne poziome i pionowe krawędzie, a wartości ciśnienia wprowadzić ze znakiem minus. Dodatkowo należy zadać przemieszczeniowe warunki brzegowe na każdej krawędzi, które blokują przesuw w kierunku równoległym do danej krawędzi.

Do generacji siatki należy użyć algorytmu Medial Axis, natomiast parametr Element Shape ustawić na Quad.

Parametry zadania